[AJUDA]-Filtro passa baixa (função de transferência)

[otton]

Senhores
Meu professor do curso passou um exercício e ele ainda não explicou a matéria a unica coisa que sei é que se trata de um filtro passa baixa
por isso venho pedir a ajuda de vocês.
Eu e a turma não conseguimos achar a solução ainda   (pode parecer fácil para vocês mas para min não é).
o exercício é o seguinte:



se alguém poder ajudar ficarei grato.

[ndemetrius]

1- T=R*C Sendo "R" em Ohms, "C" em Faraday e "T" em Segundos
2- Regime permanente será quando o capacitor estiver totalmente carregado,certo? O capacitor se comportará como um circuito aberto, logo, VI=V0 temos então ganho unitário.

As outras questões eu não me lembro exatamente a resposta, mas acho que vi num desses livros de Análise de Circuitos Elétricos.
Espero ter ajudado.

[xformer]

Não entendo porque os professores dão exercícios sem explicar a matéria.

1 - A constante de tempo (representada pela letra grega tau  t) de um circuito RC é obtida pela multiplicação do valor da resistência em ohms pelo valor da capacitância em farads. O produto é um valor com unidade de tempo (no caso segundos). É um valor usado para calcular a carga ou descarga de um capacitor em função do tempo.
sabendo que:
F (farad)  = coulomb por volt = C/V
ohm = volt / ampere = volt / (coulomb/s) = V / (C/s)

Multiplicando os dois: C/V x V/(C/s) = s    (segundos)

2 - O ganho de um filtro passa-baixas é o resultado da tensão de saída (vs) dividido pela tensão de entrada (ve).  Num divisor resistivo de tensão, a tensão sobre um elemento será proporcional à razão da resistência do elemento sobre a resistência total do divisor. Como o filtro passa-baixas RC é um divisor de tensão alternada, com impedâncias ao invés de resistências puras, com a saída de tensão sobre o capacitor, basta calcular a tensão sobre o capacitor e dividir pela tensão de entrada. A reatância do capacitor varia conforme a frequência do sinal de tensão, logo a razão do divisor de tensão também varia conforme a frequência. Em baixas frequências, a impedância do capacitor é muito alta, logo a maior parte da tensão de entrada recai sobre o capacitor. A medida que a frequência aumenta, a reatância do capacitor diminui, fazendo com que a tensão sobre o capacitor diminua também, obtendo assim o efeito do filtro.

Um capacitor representa uma reatância capacitiva cujo valor depende da frequência. O valor da reatância é  Xc = 1 / (2 x p x f x C).  Sendo que 2 x p x f chamamos de velocidade angular  (símbolo ômega w e unidade em radianos por segundo) para simplificar.  Assim Xc = 1 / (wC)

Em AC, a tensão e a corrente estão em fase num resistor, já um capacitor introduz uma defasagem de 90° entre a tensão e a corrente. Como a tensão fica atrasada em relação à corrente precisamos diferenciar a reatância do capacitor de forma a matematicamente representar esse efeito de defasagem. Para isso se convencionou que as reatâncias estariam no eixo dos números imaginários (que fica a 90° do eixo dos números reais).  
Para representar a impedância complexa formada pelo filtro RC, a expressão de Xc é representada como um número imaginário  

1/(jwC)

que costumamos multiplicar o numerador e o denominador por j/j  que resulta em  
Zc = -j / (wC)

assim o -j representa que a reatância tem valor (módulo) de  1/(wC) e o -j representa a fase (argumento) de -90°.  
obs:  j = raiz quadrada de -1  (número imaginário)

Assim a impedância total do circuito do filtro PB:
Zt =  R - j/(wC) já que eles estão em série.
A tensão de saída será igual a razão entre a reatância do capacitor dividida pela impedância total do circuito:
vs = ve x (- j/(wC))/(R - j/(wC))  que resulta na expressão:
vs/ve = ganho = G = (1 - jwRC)/((wRC)²+1)

3 - A frequência de corte ocorre quando a tensão sobre o resistor é igual à tensão sobre o capacitor, ou em outras palavras quando as duas impedâncias forem iguais,  
R = 1/(wC), isolando  w temos que:
wc = ômega de corte = 1/(RC)  
como wc = 2pfc
fc = 1/(2pRC)

A tensão de saída será igual a 0,707 da tensão de entrada. O fator 0,707 é resultante do fato de que a resistência e a reatância tem mesmo valor, mas defasadas em 90° uma da outra. Como o valor da impedãncia equivalente (total) das duas fica a 45° de cada uma.
Zt = Zr + Zc   só que para calcular o módulo de Zt temos:

Zt² = Zr² + Zc²  
agora se Zr = Zc fica
Zt² = 2Z² ou Zt = raiz (2Z²) = 1,414.Z    
a razão Z/Zt fica igual a 1/1,414 = 0,707

Esse ponto onde a tensão de saída do filtro é igual a 0,707 vezes a tensão de entrada é calculada em dB:
20 x log (vs/ve) = 20 x log (Zc/Zt) = 20 log (1/1,414) = 20 x log (0,707) = 20 x -0,1505 = -3,01 dB

Na frequência de corte, como a magnitude de impedância dos dois componentes R e C são iguais e defasados em 90°, a corrente

resultante estará defasada em 45°, a tensão de saída sobre o capacitor será defasada em -45°  (ângulo da hipotenusa, tendo os catetos iguais representados pelos fasores de R e C que devido ao -j é pra baixo).
fase = arctan = (-wC)/R = arctan (-1) = -45°

[Matec]

Ei xformer

Só isso? 

Resposta simples!

Eu não conseguiria dar uma resposta mais simples e completa (não mesmo!).

 

[otton]

 
Obrigado mesmo a todo que responderam me ajudaram muito especialmente o xformer.

Não entendo porque os professores dão exercícios sem explicar a matéria.

ele disse que era para nós nos divertimos. na outra aula ele começou a deduzir um monte de formula com derivada
e integral e chegou em umas equações muito doidas e disse que isso ia ajudar,mas ninguém viu essa ajuda.
lembrando que faço curso técnico em automação industrial e pelo que sei derivada integral e só na faculdade.
mais uma vez obrigado a todos.

[Electric Effects]

Muito legal, estou entrando nessa matéria na faculdade também. Xformer só pode ser professor! Mas que aula!

[xformer]

Muito legal, estou entrando nessa matéria na faculdade também. Xformer só pode ser professor! Mas que aula!

Obrigado pelos comentários (de todos), mas não sou professor não. Apenas acho que o professor do Otton não poderia pedir um "exercício" desses, pois não é exercício, é a própria matéria que ele tinha que ensinar e explicar. O exercício seria fazer um cálculo prático com valores reais dos componentes.

[Patines]

2- Regime permanente será quando o capacitor estiver totalmente carregado,certo? O capacitor se comportará como um circuito aberto, logo, VI=V0 temos então ganho unitário.

Nada disso.  Em regime permanente, após a frequência de corte, ou frequência tendendo ao infinito, o capacitor se torna um curto-circuito e a tensão de saída é nula.  Ganho  =  zero!

Abraços, Saúde e amor.